Tensor calculus
E et F désignent deux espaces vectoriels de dimensions respectives p et q tandis que E* et F* sont leurs espaces duaux respectifs.
Un petit conseil : Lire en tout premier lieu les pages 8 à 23 du bon vieux QSJ (numéro 1336) d'André Delachet sur le calcul tensoriel ( à la page 9 et à la page 14 il faut remplacer par trois fois le produit np par le produit pq ) plutot que de suivre la construction à la sauce Bourbaki (résolution d'un problème d'application universelle) :
For beginners (and also non beginners …)
- http://fr.wikipedia.org/wiki/Covariant_et_contravariant (une lecture essentielle)
- https://x.com/probnstat/status/1961131801814118414
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contraintes
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_énergie-impulsion
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_métrique
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_de_Ricci
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_contravariant,_covariant_et_covecteur (une autre lecture essentielle)
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_tensoriel_de_deux_modules
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Mathématiques_de_la_relativité_générale
- https://en.wikipedia.org/wiki/Gregorio_Ricci-Curbastro
- https://en.wikipedia.org/wiki/Tullio_Levi-Civita
- https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Equations_de_Maxwell
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_de_Weyl
- https://tinyurl.com/LesTenseurs
- https://tinyurl.com/LesTenseursEnPhysique
- https://tinyurl.com/TenseurEnergieImpulsion
- https://tinyurl.com/CovariantContravariant
- https://tinyurl.com/algebre-lineaire
- https://tinyurl.com/algebre-multilineaire
- https://tinyurl.com/LeTenseurDeMaxwell
- https://www.quantamagazine.org/the-geometric-tool-that-solved-einsteins-relativity-problem-20240812/
- https://hal.archives-ouvertes.fr/cel-01998800/document
- http://www.astrosurf.com/luxorion/relativite-concepts-tenseur-rc.htm
- http://www.astrosurf.com/luxorion/relativite-generale-1913.htm
- http://www.tensorflow.org/resources
- http://dournac.org/sciences/tensor_calculus/index.html
- http://www.dialogus2.org/EIN/quesontlestenseurs.html
- https://www.youtube.com/watch?v=czrel_yqJYM (Merci Lukas Rafaj)
- http://livre21.com/LIVREF/F12/F012085.pdf (Merci Pierre Aimé)
- https://www.youtube.com/watch?v=qydIWpxKtpI (Merci Thomaths)
- https://www.youtube.com/watch?v=3kImVyhKA08 (Merci Ta3Lim)
- https://www.youtube.com/watch?v=Ikh4bnnqehg (Merci Ta3Lim)
- https://www.youtube.com/watch?v=8tqKmTPcBTg (Merci Jean Garrigues)
- https://www.youtube.com/watch?v=QXJpCHuMF4w (Merci David Rossboth)
- http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc (Merci Emmabuel Plaut)
- https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~harari/enseignement/m1alg21/modules.pdf (Merci David Harari)
- http://robert.rolland.acrypta.com/telechargements/algebre/tensor.pdf (Merci Robert Rolland)
- https://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc/polct.pdf (Merci Emmanuel Plaut)
- https://www.naturelovesmath.com/wp-content/uploads/2015/10/Tenseurs.pdf (Merci Johann Colombano-Rut)
- https://dournac.org/sciences/Tensor_Calculus.pdf (Merci Fabien Dournac)
- http://www.numdam.org/article/SB_1951-1954__2__193_0.pdf (Merci Alexandre Grothendieck)
- https://webusers.imj-prg.fr/~daniel.bertrand/Enseignement/epdf/Algeo09_chap4.pdf (Merci Daniel Bertrand)
- http://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/tensor/tensor.pdf (Merci Kees Dullemond & Kasper Peeters )
- https://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf (Merci Joseph C. Kolecki)
- https://www.ese.wustl.edu/~nehorai/Porat_A_Gentle_Introduction_to_Tensors_2014.pdf (Merci Boaz Porat)
- https://www.stat.uchicago.edu/~lekheng/work/hla.pdf (Merci L.-H. Lim)
- https://hal.inria.fr/inria-00069934/document (Merci Patrick Gros)
- https://www.emse.fr/~fortunier/cours/Introduction_to_Tensors/poly.pdf (Merci Roland Fortunier)
- http://patrick.vaudon.pagesperso-orange.fr/og5.pdf (Merci Patrick Vaudon)
- https://physique-univ.fr/onewebmedia/Note%20tenseurs.pdf (Merci Christian Carimalo)
- https://www.youtube.com/watch?v=R8shuDvvpmU (Merci Arnaud Bodin)
- https://www.youtube.com/watch?v=-uGwWSFHKYE (Merci Fabrice Morestin)
- https://www.youtube.com/watch?v=Lm77dq0kXGc (Merci Pierre Cartier)
- https://www.youtube.com/watch?v=sHlo2wbKWZY (Merci Eric Pruvost)
- https://www.youtube.com/watch?v=3n2GOgqGIcg (Merci Alessandro Roussel)
- https://www.youtube.com/watch?v=X0uTPAZlaeY (Merci Tanguy Dusserre)
- https://www.youtube.com/watch?v=zPRbbM4KJBY (Merci Science Clic Plus)
- https://www.youtube.com/watch?v=A-YCU-wTUVo (Merci Science Clic Plus)
- https://www.youtube.com/watch?v=Xrl4a7avoNk (Merci Science Clic Plus)
- https://www.youtube.com/watch?v=QXJpCHuMF4w (Merci David Rossboth)
- https://www.youtube.com/watch?v=8tqKmTPcBTg (Merci Jean Garrigues)
- https://www.youtube.com/watch?v=A7yc3WZXtcM (Merci Jean-Pierre Bourguignon)
- https://www.youtube.com/watch?v=1GwAEnegaRs (Merci Simulate )
- https://www.youtube.com/watch?v=aIYwYKbBwBo (Merci Elminor Hassan) 1/5
- https://www.youtube.com/watch?v=KcgibHqPfVE ( " " " ) 2/5
- https://www.youtube.com/watch?v=IxSamlvP3AU ( " " " ) 3/5
- https://www.youtube.com/watch?v=1zFcoBf-vyM ( " " " ) 4/5
- https://www.youtube.com/watch?v=MixlIbB7C5E ( " " " ) 5/5
- https://www.youtube.com/watch?v=szI0Tk1zDtA Tenseurs des déformations (Merci Guechichi Hocine )
- Thanks to Serge Stinckwich for his new podcast : "Towards Machine Learning in #Pharo with TensorFlow"
- https://www.youtube.com/watch?v=vUeEkm0QXDg 1
- https://www.heatonresearch.com/2017/07/30/tensors.html
- https://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/nedlagte-emner/MAT-INF2360/v12/tensortheory.pdf
- https://physics.stackexchange.com/questions/340832/problem-in-metric-tensors
- https://stackoverflow.com/questions/37849322/how-to-understand-the-term-tensor-in-tensorflow
- https://www.phy.ulaval.ca/fileadmin/phy/documents/Bacc_PHY/TENSEURS-01-10-12.pdf (Merci Pierre Amiot)
- https://www.pmmh.espci.fr/fr/Enseignement/Archives/MecaSol/Tenseurs.pdf (Merci Jean-Claude Charmet)
- http://www.lmd.polytechnique.fr/~astegner/PC-Mec431/downloadPC/CalcTensoriel2005.pdf (Merci Alexandre Stegner)
- http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf (Merci Keith Conrad)
- http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod2.pdf
- http://mms2.ensmp.fr/mmc_st_etienne_fort/calcul_tensoriel/polycop/tenseurs_poly.pdf
- https://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/mecanique/Thomas.Dubos/MEC431/pc1_ill.pdf (Merci Thomas Dubos)
- http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc/polct.pdf (Merci Emmanuel Plaut )
- http://patrick.vaudon.pagesperso-orange.fr/tenseur.pdf (Merci Patrick Vaudon)
- https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00679923v1/document (Merci Jean Garrigues)
- http://jean.garrigues.perso.centrale-marseille.fr/File/TenseursMMC.pdf ( Merci Jean Garrigues )
- http://guilhem.mollon.free.fr/Telechargements/MMC1.pdf (Merci Guilhem Mollon)
- http://s.dugowson.free.fr/enseignement/tenseurs.pdf (Merci Stéphane Dugowson)
- http://stephanie.bonneau.free.fr/LP214/formulaire_tenseur.pdf (Merci Stephanie Bonneau)
- http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1924_9_3_A3_0.pdf ( Merci Paul Dienes)
- http://foad.univ-ubs.fr/file.php/1169/EF/tenseur.pdf (Merci Hervé Laurent et Gérard Rio)
- http://www.antoinejacono.com/pub/Maths_files/Le%20produit%20tensoriel.pdf (Merci Antoine Jacono)
- http://www.decitre.fr/livres/tensor-algebra-and-tensor-analysis-for-engineers-9783642308789.html (Merci Mikhail Itskov)
- http://kysmykseka.net/koti/wizardry/Misc/Demystified%20Series/McGraw-Hill%20-%20Quantum%20Mechanics%20Demystified%20%282006%29.pdf
- http://o.castera.free.fr/pdf/Algebre_tensorielle.pdf (Merci Olivier Castéra)
- http://www.mmaya.fr/PDF/TENSEURS.pdf ( Merci Michel Maya)
- http://www.mmaya.fr/PDF/MMCWeb.pdf ( Merci Michel Maya)
- http://www.chireux.fr/mp/cours/mecanique_milieux_continus.pdf ( Merci Nicolas Moës )
- https://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/mecanique/Thomas.Dubos/MEC431/pc1_ill.pdf ( Merci Thomas Dubos )
- http://www.normalesup.org/~sage/Cours/ProdTens.pdf ( Merci Marc Sage)
- http://theory.physics.unige.ch/~durrer/courses/tens0203.pdf ( Merci Ruth Durrer )
- http://www.fast.u-psud.fr/~moisy/teaching/cours_tenseurs.pdf ( Merci Frédéric Moisy )
- http://www.fast.u-psud.fr/~moisy/teaching/cours_mecaflu_2017.pdf ( Merci Frédéric Moisy )
- http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/analyse/Gounon_tenseur.pdf ( Merci Jean Gounon )
- http://maths.cnam.fr/IMG/pdf/tenseur8-2.pdf (Merci Phillipe Durand)
- https://dournac.org/sciences/Tensor_Calculus.pdf (Merci Fabien Dournac)
- https://matsymat.sciencesconf.org/file/94555 (Merci Marc François)
- http://www.latp.univ-mrs.fr/~dloussky/documents/ProdTens-prodExt.pdf ( Merci Georges Dloussky )
- http://settheory.net/tensors ( Merci Sylvain Poirier)
- http://www.iecn.u-nancy.fr/~ferrier/Tensor.pdf ( Merci Jean-Pierre Ferrier )
- http://www.emse.fr/~fortunier/cours/Introduction_to_Tensors/poly.pdf (Merci Roland Fortunier)
- http://www-cosmosaf.iap.fr/Tenseurs-presentation.pdf ( Merci Jacques Fric)
- http://freddy.univ-tln.fr/enseignement/MMC.pdf ( Merci Golay Frédéric & Bonelli Stéphane )
- http://www.einsteininskirt.com/
- http://ncatlab.org/nlab/show/tensor+product
- https://jmanton.wordpress.com/2011/10/12/the-tensor-product/
- http://mathbabe.org/2011/07/20/what-tensor-products-taught-me-about-living-my-life/
- http://www.pmmh.espci.fr/fr/Enseignement/Archives/MecaSol/Tenseurs.pdf
- http://fhqed.free.fr/cours/Tenseurs.pdf
- https://tinyurl.com/StiffnessTensor
- http://rmages.free.fr/tensors/stiffness-tensor.png
- http://www-ext.impmc.upmc.fr/~ayrinhac/documents/Acoustique_des_materiaux_cours.pdf
- http://www-sop.inria.fr/galaad/conf/09tensor/program.pdf
- These de Andrea Kratz (Berlin 2013)
- Cours de Jean Salençon à l'X sur la MMC (Eléments de calcul tensoriel -Annexe 1 page 293)
- Cours de Samuel Forest à L'Ecole des Mines de Paris
- Cours de Victor Guillemin au MIT :
- Vector and Tensor Analysis with Applications by A.I. Borisenko and I.E. Tarapov ( ISBN 978-0-486-63833-1 published by Dover Publications at New York )
- Linear Algebra via Exterior Products by Sergei Winitzky ( ISBN 978-1-4092-9496-2, published by lulu.com )
- https://sites.google.com/site/winitzki/ (Merci Sergei Winitzki)
- Tensor calculus, Relativity and Cosmology : A first course by Mirjana Dalarsson and Nils Dalarsson (Elsevier Academic Press)
Thanks
De chaleureux remerciements pour les conseils qu'ils nous ont donnés pour étudier les tenseurs :
- aux mathématiciens Henri Skoda, Marie-Françoise Bidaut-Véron, Roger Marlin , Robert Rolland et Benoit Fresse
- aux physiciens Thibault Damour , Cyprien Gay , Yves-Patrick Pellegrini et Nicolas Brodu
- ainsi qu'au géologue Jean-François Barbé (expert en prospection dans les champs pétrolifères)